"Non mi legga chi non è matematico nei miei pricìpi..."

Leonardo da Vinci, Lezioni di Anatomia

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Quanto fa 0⁰?

1. Premesse

Prima chiariamoci le idee. Dati a e n due numeri naturali non nulli, definiamo potenza n-ma di a:

aⁿ = a*a*a*a* ... * a (n volte)

Abbiamo, cioè, moltiplicato per se stesso il numero a per n volte.

Per convenzione, poi, si definisce la potenza 0 di un numero naturale non nullo, ponendo:

a⁰ = 1

Si pone questa convenzione per mantenere una corenza con le proprietà elementari delle potenze. Infatti vale per le potenze la proprietà:

aⁿ * a^m = a^n+m

Quindi deve essere:

aⁿ= aⁿ⁺⁰ = aⁿ * a⁰

e da questo si intuisce l'opportunità di porre a⁰ = 1 (ricorda che per ora a è diverso da zero).

2. Prime (contraddittorie) ipotesi

Per conservare la compatibilità con le proprietà citata appare allora coerente definire:

0⁰ = 1

Ma, se così fosse, potremmo dire:

mentre l'operazione (1 / 0)⁰ dovrebbe essere priva di significato, essendo priva di significato la scrittura 1 / 0. Quindi, in questo caso, appare più opportuno definire:

0⁰ = 0

Ancora, se proviamo a calcolare il limite destro della funzione x^x per x che tende a 0, ci ritroviamo nella forma indeterminata 0⁰. Possiamo calcolare questo limite osservando che x^x = e^{x log (x)}, e che

(nella seconda ugualianza è intervenuto il teorema di De L'Hospital).
Allora il limite cercato è uguale a:

Un altra argomentazione a favore della definizione 0⁰ = 1.

3. Conclusione

Siamo 2 a 1 a favore della definizione 0⁰ = 1, ma la matematica non è democratica: non sempre la maggioranza vince.

L'unica soluzione possibile infatti è considerare 0⁰ un'operazione illecita, cioè senza significato (cosa che siamo già abituati a fare, per esempio, con le divisioni del tipo x / 0)

Questa è l'unica conclusione possibile perchè a un'operazione deve essere possibile associare uno e un solo risultato ben determinato, cosa che non è possibile fare con 0⁰ se vogliamo conservare la compatibilità con le precedenti proprietà delle potenze.

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